同一根小棒为什么一会儿是二分之一，一会儿是三分之一？

一根小棒本身没有变，表示的分数却可能变化。关键不在它涂了什么颜色，而在于把哪段长度看作整体。益智教具若只让孩子记住颜色对应的数字，就容易漏掉分数真正需要表达的比较关系。

剑桥大学NRICH的Rod Fractions教师说明，将长短棒作为表达“一段长度是另一段的几分之几”的情境，并指出，不必先知道每根棒的数值长度，也可以讨论它们之间的关系。[1] 本文据此设计独立的小例子，没有使用或声称观看该页面中的图示。

先拿两根同样长的小棒首尾相接，将拼出的总长度作为整体。一根小棒就是这个整体的二分之一。再拿三根同样长的小棒拼成新的整体，原来那一根现在表示新整体的三分之一。变化的是比较基准，不是小棒偷偷变短了。

如果孩子只回答“这根棒是一半”，可以接着问：“是谁的一半？”这个问题让语言重新指向对象。表达完整之后，再用拼接验证：两根这样的棒能否刚好对齐那个整体。相比直接报出答案，解释如何对齐更容易暴露中间遗漏的条件。

还可以让孩子自己制作等长纸条进行同样的比较。需要关注的是单位段是否一致，以及比较的两端是否对齐。这里不规定具体颜色，更不把自制纸条的尺寸当成某一套商业教具的标准。教具的角色是呈现关系，而不是让颜色代替思考。

进一步的虚构例子是，用六个相同单位拼出整体，取其中三个单位，就能表示六分之三；将整体看成两个同样长的三单位段，又能看到二分之一。两个说法描述同一长度关系，但分组方式不同。这样的演示可以成为交流问题，不必急着要求每个学习者用同一种句式回答。

为教具配写说明时，可以同时写明整体、部分和验证方法。若只印“黄色等于某分数”，却没有交代相对哪个整体，说明很容易脱离活动情境。NRICH也鼓励学习者说明自己的做法。[1] 一套有用的分数教具，应当为比较和解释留下空间，而不只是给记忆增加一组新的颜色口诀。